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5.2: La transformada de Laplace - Matemáticas


A la Transformada de Laplace se le atribuye típicamente el mérito de convertir los problemas dinámicos en problemas estáticos. Recuerde que la transformada de Laplace de la función (h ) es

[ mathscr {L} (h (s)) equiv int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st)} h (t) dt nonumber ]

MATLAB es muy experto en tales cosas. Por ejemplo:

La transformada de Laplace en MATLAB

>> syms t >> laplace (exp (t)) ans = 1 / (s-1) >> laplace (t * (exp (-t)) ans = 1 / (s + 1) ^ 2

La Transformada de Laplace de una matriz de funciones es simplemente la matriz de las transformadas de Laplace de los elementos individuales.

Definición: Transformada de Laplace de una matriz de funciones

[ mathscr {L} ( begin {pmatrix} {e ^ {t}} {te ^ {- t}} end {pmatrix}) = begin {pmatrix} { frac {1} {s -1}} { frac {1} {(s + 1) ^ 2}} end {pmatrix} nonumber ]

Ahora, preparándonos para aplicar la transformada de Laplace a nuestra ecuación del módulo de cuarteto dinámico de strang:

[ textbf {x} '= B textbf {x} + textbf {g} ]

lo escribimos como

[ mathscr {L} ( frac {dx} {dt}) = mathscr {L} (B textbf {x} + textbf {g}) ]

y entonces debe determinar cómo ( mathscr {L} ) actúa sobre derivadas y sumas. Con respecto a este último, se sigue directamente de la definición que

[ begin {align *} mathscr {L} (B textbf {x} + textbf {g}) & = mathscr {L} (B textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g}) [4pt] & = B mathscr {L} ( textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g}) end {align *} ]

En cuanto a su efecto sobre la derivada encontramos, al integrar por partes, que

[ begin {align} mathscr {L} left ( frac {d textbf {x}} {dt} right) & = int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st) } frac {d textbf {x} (t)} {dt} dt [4pt] & = textbf {x} (t) left. e ^ {- (st)} right | _ {0} ^ { infty} + s int_ {0} ^ { infty} e ^ {- (st)} textbf {x} (t) dt end {align} ]

Suponiendo que (x ) y (s ) son tales que (x (t) e ^ {- (st)} rightarrow 0 ) como (t rightarrow infty ) llegamos a

[ mathscr {L} ( frac {d textbf {x}} {dt}) = s mathscr {L} ( textbf {x}) - x (0) nonumber ]

Ahora, al sustituir la Ecuación 2 y la Ecuación 3 en la Ecuación 1 encontramos

[s mathscr {L} ( textbf {x}) - textbf {x} (0) = B mathscr {L} ( textbf {x}) + mathscr {L} ( textbf {g} ) sin número]

que se reconoce fácilmente como un sistema lineal para ( mathscr {L} ( textbf {x}) )

[( textbf {s} I-B) mathscr {L} ( textbf {x}) = mathscr {L} ( textbf {g}) + x (0) nonumber ]

Lo único que distingue a este sistema de los encontrados desde nuestro primer contacto con estos sistemas es la presencia de la variable compleja (s ). Esto complica los pasos mecánicos de la eliminación gaussiana o el método Gauss-Jordan, pero los métodos se aplican sin cambios. Retomando el último método, escribimos

[ mathscr {L} ( textbf {x}) = (sI-B) ^ {- 1} ( mathscr {L} ( textbf {g}) + x (0)) nonumber ]

La matriz ((sI-B) ^ {- 1} ) se denomina típicamente función de transferencia o disolvente, asociado con (B ), en (s ). Recurrimos a MATLAB por su simbólico cálculo. (para obtener más información, consulte el tutorial sobre la caja de herramientas simbólicas de MATLAB). Por ejemplo,

>> B = [2 -1; -1 2] >> R = inv (s * ojo (2) -B) R = [(s-2) / (s * s-4 * s + 3), -1 / (s * s-4 * s + 3)] [-1 / (s * s-4 * s + 3), (s-2) / (s * s-4 * s + 3)]

Observamos que ((sI-B) ^ {- 1} ) bien definido excepto en las raíces de la cuadrática, (s ^ {2} -4s + 3 ) determinante de ((sI-B) ) y a menudo se denomina polinomio característico de B). Sus raíces se llaman valores propios de B).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Tomemos la matriz (B ) del módulo dinámico del cuarteto de Strang con las opciones de parámetros especificadas en fib3.m, a saber

[B = begin {pmatrix} {-0.135} & {0.125} & {0} {0.5} & {- 1.01} & {0.5} {0} & {0.5} & {- 0.51} end {pmatrix} nonumber ]

El ((sI-B) ^ {- 1} ) asociado es un poco voluminoso (ejecute fig3.m) por lo que mostramos aquí solo el denominador de cada término, es decir,

[s ^ 3 + 1.655s ^ 2 + 0.4078s + 0.0039 nonumber ]

Suponiendo un estímulo actual de la forma (i_ {0} (t) = frac {t ^ {3} e ^ {- frac {t} {6}}} {10000} ) y (E_ {m } = 0 ) trae

[ mathscr {L} ( textbf {g}) (s) = begin {pmatrix} { frac {0.191} {(s + frac {1} {6}) ^ {4}}} { 0} {0} {0} end {pmatrix} nonumber ]

y así la ecuación persiste en

[ begin {align *} mathscr {L} ( textbf {x}) & = (sI-B) ^ {- 1} mathscr {L} ( textbf {g}) [4pt] & = frac {0.191} {(s + frac {1} {6}) ^ {4} (s ^ 3 + 1.655s ^ 2 + 0.4078s + 0.0039)} begin {pmatrix} {s ^ 2 + 1.5s +0.27} {0.5s + 0.26} {0.2497} end {pmatrix} end {align *} ]

Ahora viene el problema. Una solución lineal simple (o inversión) nos ha dejado con la transformada de Laplace de ( textbf {x} ). El maldito Teorema de no almuerzo gratis

Tendremos que trabajar un poco para recuperar ( textbf {x} ) de ( mathscr {L} ( textbf {x}) ) que nos enfrenta. Lo enfrentaremos en el módulo de Inverse Laplace.


La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace aplicada a una función $ f (t) $ tendrá el siguiente aspecto:
$ mathcal[f (t)] = int_0 ^ < infty> e ^ <- lambda t> f (t) , dt = F ( lambda) $
La notación taquigráfica suele indicarse de tres formas habituales:
$ mathcal[f (t)] = F ^ = Laplace (f (t)) $
En general, su función de tiempo $ f (t) $ se transformará en una función de lambda $ F ( lambda) $:
$ f (t) $ => $ F ^( lambda) $

Tenga en cuenta las siguientes propiedades de la transformada de Laplace:
Recuerde siempre que la transformada de Laplace solo es válida para t> 0.
Las constantes se pueden extraer de la transformada de Laplace:
$ mathcal[af (t)] = a mathcal[f (t)] $ donde a es una constante
Además, el Laplace de una suma de múltiples funciones se puede dividir en la suma de múltiples transformadas de Laplace:
$ mathcal[g (t) + f (t)] = mathcal[g (t)] + mathcal[f (t)] $

Hay 5 reglas que debes memorizar sobre la Transformada de Laplace:

1. Regla de convolución
Denotaremos la convolución de 2 funciones f y g como sigue:
$ (f * g) = (g * f) = int_ <0> ^ f ( tau) g (t- tau) mathrm tau $
Cuando aplicamos la Transformada de Laplace a la convolución de 2 funciones obtenemos el siguiente resultado:
$ mathcal[f * g] = F ^( lambda) G ^( lambda) $

2. Regla de la derivada
Dada una derivada (n) de una función f, denotada por $ f ^$, la Transformada de Laplace será la siguiente:
$ mathcal[f ^] = lambda ^F ^( lambda) - sum_^ lambda ^f ^(+0)$

3. Regla de similitud
Dada una función que tiene una constante $ a $ multiplicada por t en una función:
$ mathcal[f (en)] = frac <1> F ^( frac < lambda>), $ tal que $ a> 0 $

4. Regla de cambio
Dada una función desplazada por una cierta cantidad multiplicada por una función de Heaviside desplazada:
$ mathcal[H (t-a) g (t-a))] = e ^ <- a lambda> G ^( lambda) $

5. Regla de atenuación
Dada una función exponencial multiplicada por una función exponencial, donde a es una constante:
$ mathcal[e ^ <-at> f (t)] = F ^( lambda + a) $

Tenga en cuenta que las reglas más importantes que usaremos son # 1, # 2 y # 4, sin embargo, es una buena idea aprender todas las reglas.


Módulo-I (T-3 h + Pj-2 h)

Transformadas de Laplace, Propiedades de las transformadas de Laplace, Función de paso unitario.

Haga un breve borrador de las propiedades de la transformada de Laplace de la memoria. Luego compare sus notas con el texto y escriba un informe de 2-3 páginas sobre estas operaciones y su importancia en las aplicaciones.

Módulo-II (T-2 h + Pj-2 h)

Segundo teorema de desplazamiento, transformadas de Laplace de derivadas e integrales.

Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

Módulo-III (T-3 h + Pj-2 h)

Derivadas e integrales de transformadas, transformada inversa de Laplace.

Aplicación de la función de paso unitario (circuito RC a una sola onda cuadrada).

Módulo-IV (T-2 h + Pj-2 h)

Solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace.

Encuentre la solución de la ecuación diferencial usando la Transformada de Laplace.

Módulo-V (T-4 h + Pj-2 h)

Función periódica, serie de Fourier, expansión de la serie de Fourier de un período arbitrario, expansiones de medio rango.

Encuentre la expansión en serie de Fourier de una función periódica de 2 pi.

Módulo-VI (T-3 h + Pj-2 h)

Forma compleja de la serie de Fourier, integrales de Fourier, diferentes formas de la integral de Fourier.


Transformaciones de Laplace

§8.6 Epílogo histórico

El legado de Oliver Heaviside a las matemáticas y el electromagnetismo es impresionante. Además de perfeccionar el cálculo operacional que más tarde inspiró el método de la transformada de Laplace, desarrolló el cálculo vectorial en 1885, comenzando con las definiciones de productos escalares y vectoriales que se utilizan hoy en día ( EPII, páginas 4 y 5). 1 Ese mismo año formuló lo que se ha convertido en la piedra angular de la teoría electromagnética. Heaviside se refiere a su descubrimiento de la siguiente manera:

Aquí presento un nuevo método para tratar el tema [la teoría del electromagnetismo de Maxwell], que tal vez pueda denominarse apropiadamente método Duplex, ya que su característica principal es la exposición de las ecuaciones eléctricas, magnéticas y electromagnéticas en forma dúplex.

Esta fue la primera aparición impresa del famoso Ecuaciones de Maxwell de la teoría electromagnéticaEPI, páginas 447, 448, 452 y 475), que no están incluidas en el tratado de Maxwell. Maxwell no fue un escritor muy claro (su tratado es casi ilegible desde cierto punto en adelante), por lo que muchos futuros expositores del tema prefirieron seguir la interpretación de Heaviside de Maxwell y no se dieron cuenta de que las ecuaciones dúplex eran las propias de Heaviside.

Desde Papeles eléctricos, Vol. 1, The Copley Publishers, Boston, 1925.

La contribución de Heaviside a la telegrafía y la telefonía fue invaluable, pero durante mucho tiempo cayeron en oídos sordos en su propio país. Encontró un obstáculo formidable en William Henry Preece, Electricista de la oficina de correos. La oposición de Preece se basó en una base de dos pilares. El primero fue su ignorancia de lo que realmente sucedía en la transmisión de señales eléctricas, como se muestra en un artículo publicado en 1887. El segundo fue la respuesta de Heaviside que contenía la siguiente evaluación:

O, en primer lugar, la teoría aceptada del electromagnetismo debe ser modificada más profundamente o, en segundo lugar, las opiniones expresadas por el Sr. Preece en su artículo son profundamente erróneas ... El Sr. Preece está equivocado, no solo en algunos puntos de detalle, sino radicalmente equivocado, en general, en métodos, razonamientos, resultados y conclusiones.

El hecho es que el Sr. Preece, más tarde Sir William, nunca aceptó la validez del consejo de Heav-iside de aumentar tanto la inductancia como, en menor medida para evitar una atenuación excesiva, la conductancia de fuga, para aproximarse a la condición sin distorsión. g / c = r / l. & quotMás capacitancia & quot; parece haber sido de Preece lema. El resultado de todo esto es que Heaviside comenzó a tener problemas para publicar sus artículos, que se oponían a la opinión oficial, que el gobierno británico derrochó una fortuna construyendo las líneas equivocadas y que Inglaterra perdió su liderazgo en este campo frente a Estados Unidos. Mihajlo Idvorsky Pupin, un inmigrante serbio de la aldea austriaca de Idvor que se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Columbia, fue el primero en construir una línea utilizando una inductancia incrementada, pero en su artículo de mayo de 1900 reconoció la fuente de sus antecedentes teóricos, afirmando que

El Sr. Oliver Heaviside de Inglaterra, a cuyas profundas investigaciones se debe la mayor parte de la teoría matemática existente de la propagación de ondas eléctricas, fue el creador y más ferviente defensor de los conductores de ondas de alta inductancia.

Poco después, la American Telephone and Telegraph Company logró establecer comunicaciones telefónicas de costa a costa mediante el uso de una mayor inductancia.

Heaviside era bueno con las palabras en muchos sentidos. A él le debemos, por ejemplo, los términos inductancia, atenuación y reticencia magnética (EPII, página 28) y el uso de voltaje para fuerza electromotriz (EMTI, página 26). Era un escritor colorido, entretenido y obstinado, como lo demuestran las siguientes citas adicionales:

La autoinducción es la salvación. [EMTII, página 354] Como los críticos no siempre pueden encontrar tiempo para leer más que el prefacio, las siguientes observaciones pueden servir para dirigir su atención a algunos de los puntos principales de este volumen. [EMTI, Prefacio] Y que existe una tendencia natural tanto del cuerpo humano como del entendimiento a moverse en círculos, lo prueban los relatos de los hechos de los viajeros tardíos en la naturaleza y el contenido de una gran cantidad de libros. [EPI, página 353] Fuerza eléctrica y magnética. Que vivan para siempre y nunca sean olvidados. [EMTIII, página 1] Cuando el profesor Hughes habla de la resistencia de un cable, no siempre significa lo que los hombres comunes, los hombres de ohmios, voltios y faradios, quieren decir con la resistencia de un cable, solo a veces. [EPII, página 28] Diferentes hombres tienen opiniones diferentes: a algunos les gustan las manzanas, a otros les gustan las iniones [EMTI, página 352].

Matemático en general, electricista, filósofo, humorista ácido, iconoclasta extraordinario, recibió, pero rechazó, la medalla Hughes de la Royal Society en 1904, recibió un doctorado honoris causa de la Universidad de Göttingen en 1906, fue nombrado miembro honorario de la Institución de Ingenieros Eléctricos de Gran Bretaña en 1908 y del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos en 1918, y recibió la primera Medalla Faraday de la Institución de Ingenieros Eléctricos en 1923 .

En su casa de campo en Torquay, donde pasó los últimos diecisiete años de su vida mayormente solo y con grandes problemas financieros, a pesar de una pequeña pensión del gobierno que aceptó solo con la condición de que fuera en reconocimiento a su trabajo científico, las cosas fueron menos rosado. Por falta de pago, el banco estaba detrás de su casa y la compañía de gas le cortó el gas. Víctima de lumbago y gota reumática, tuvo que comer alimentos fríos y vivir en una casa fría. Al llegar a su puerta en el invierno de 1921, un visitante distinguido encontró una nota que decía que Heaviside se había ido a la cama para mantenerse caliente. Metidos en las rendijas de la puerta, para evitar corrientes de aire frío, había un surtido de papeles: algunos anuncios, una invitación del presidente de la Royal Society, amenazas de la compañía de gas de cortar el gas…. El siguiente Spring Heaviside escribió:

No podía usar botas en absoluto. No pude conseguir calcetines de cama adecuados para caminar. Enterrado debajo de todas las mantas que tengo. De vez en cuando escribía una especie de diario sobre mi persecución por parte de los Pobres, los Gas y otros. 1

Irreprimible en su escritura, continuó trabajando en sus artículos científicos, muchos de los cuales fueron encontrados póstumamente. Murió en un asilo de ancianos el 3 de febrero de 1925.


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Sistemas discretos

8.2.4.2 Propiedades de las transformadas de Fourier

Muchas propiedades de las transformadas de Laplace y Fourier son bastante similares. En particular, la mayoría de las fórmulas recopiladas en el Apéndice 7 se pueden adaptar a las transformadas de Fourier utilizando la regla de correspondencia [8.18]. En particular, el teorema de convolución [A7.8] puede extenderse a las transformadas de Fourier, siempre que el límite inferior de integración se desplace correctamente de 0 a - ∞. De hecho, una diferencia importante entre las dos transformadas es que en la integral de Fourier, el origen del tiempo no juega ningún papel en particular, en contraste con el caso de la integral de Laplace. Como consecuencia adicional del interés particular en la dinámica, los términos relacionados con los valores iniciales en el teorema de diferenciación [A7.3] deben descartarse al adaptar la fórmula al caso de las transformadas de Fourier. En consecuencia, el movimiento calculado utilizando una transformación de Fourier de las ecuaciones dinámicas descarta automáticamente las oscilaciones libres inducidas por condiciones iniciales distintas de cero de la excitación externa. Esta es una propiedad adecuada cuando el interés se restringe al estudio del régimen estable de respuestas forzadas.


250+ PRINCIPALES MCQ sobre la Transformada de Laplace y Respuestas

Señales y sistemas # 038 Preguntas de opción múltiple sobre “La transformada de Laplace”.

1. La condición necesaria para la convergencia de la transformada de Laplace es la integrabilidad absoluta de f (t) e -σt.
Una verdad
B. Falso
Respuesta: A
Aclaración: La condición necesaria para la convergencia de la transformada de Laplace es la integrabilidad absoluta de f (t) e -σt. Matemáticamente, esto se puede establecer como
(int _ <- ∞> ^ ∞ | f (t) e ^ <- σt> |) dt -at u (t) y su ROC.
A. (fracción <1>), Re> -a
B. (fracción <1>), Re> un
C. (fracción <1>), Re> un
D. (fracción <1>), Re> -a
Respuesta: D
Aclaración: transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
L = (int _ <- ∞> ^ ∞ e ^ <-at> u (t) e ^ <-st>, dt = int_0 ^ ∞ e ^ <-at> e ^ <-st>, dt = frac <1>) cuando (s + A.> 0
(σ + A.> 0
σ> -a
ROC es Re> -a.

3. Encuentre la transformada de Laplace de δ (t).
A. 1
B. 0
C. ∞
D. 2
Respuesta: A
Aclaración: transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
L <δ(t)>= (int _ <- ∞> ^ ∞ δ (t) e ^ <-st>, dt)
[x (t) δ (t) = x (0) δ (t)]
= (int _ <- ∞> ^ ∞ δ (t) dt)
= 1.

4. Encuentre la transformada de Laplace de u (t) y su ROC.
A. (fracción <1>), σ 0
C. (fracción <1>), σ = 0
D. (fracción <1> <1-s>), σ≤0
Respuesta: B
Aclaración: transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
L = (int _ <- ∞> ^ ∞ u (t) e ^ <-st>, dt = int_0 ^ ∞ e ^ <-st>, dt = frac <1>) cuando s> 0 es decir, σ> 0.

5. Encuentre la ROC de x (t) = e -2t u (t) + e -3t u (t).
A. σ> 2
B. σ> 3
C. σ> -3
D. σ> -2
Respuesta: D
Aclaración: Dado x (t) = e -2t u (t) + e -3t u (t)
Transformada de Laplace, L = X (s) = (int _ <- ∞> ^ ∞ x (t) e ^ <-st>, dt)
X (s) = (fracción <1> + frac <1>)
ROC es <σ>-2>∩ <σ>-3>
Por tanto, la ROC es σ> -2.


¿Cómo funciona la calculadora de transformación de Laplace?

Una calculadora de transformación de Laplace en línea le ayuda a transformar funciones reales en funciones complejas con estos pasos:

Aporte:

  • Primero, ingrese una ecuación simple y podrá ver la vista previa de la ecuación.
  • Presione el botón de cálculo para continuar con el proceso.

Producción:

La calculadora de la transformada de Laplace muestra los siguientes resultados:

  • En primer lugar, la calculadora muestra su entrada en forma de ecuación diferencial ordinaria.
  • Luego, proporcione la respuesta contra la ecuación en forma algebraica.

5.2: La transformada de Laplace - Matemáticas

La transformada de Laplace es una transformada integral quizás superada solo por la transformada de Fourier en su utilidad para resolver problemas físicos. Debido a sus propiedades útiles, la transformada de Laplace es particularmente útil en la resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales como las que surgen en el análisis de circuitos electrónicos.

La transformada de Laplace (unilateral) (que no debe confundirse con la derivada de Lie) se define por

donde se define para. Una transformada de Laplace de dos lados a veces también se define por

El teorema de la existencia de la transformada de Laplace establece que, si es por partes Continuo en cada intervalo finito al satisfacer

para todos, entonces existe para todos. La transformada de Laplace también es Única, en el sentido de que, dadas dos funciones y con la misma transformada,

entonces el teorema de Lerch garantiza que la integral

desaparece para todos para una función nula definida por

En la tabla anterior, es la función de Bessel de primer tipo de orden cero, es la función delta y es la función de paso de Heaviside. La transformada de Laplace tiene muchas propiedades importantes.

La transformada de Laplace de una convolución está dada por

Ahora considere la diferenciación. Sea tiempos continuamente diferenciables. Si entonces

Continuando con las derivadas de orden superior, se obtiene

Esta propiedad se puede utilizar para transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, un procedimiento conocido como cálculo de Heaviside, que luego se puede transformar a la inversa para obtener la solución. Por ejemplo, aplicando la transformada de Laplace a la ecuación

que se puede reorganizar para

Si esta ecuación puede ser transformada de Laplace inversa, entonces se resuelve la ecuación diferencial original.

Considere la exponenciación. Si es por, entonces por.

Considere la integración. Si es continuo por partes y, entonces

La transformada inversa se conoce como Integral de Bromwich o, a veces, Integral de Fourier-Mellin.

Arfken, G. Métodos matemáticos para físicos, 3ª ed. Orlando, FL: Academic Press, págs. 824-863, 1985.

Churchill, R. V. Matemáticas operativas. Nueva York: McGraw-Hill, 1958.

Franklin, P. Introducción a los métodos de Fourier y la transformación de Laplace. Nueva York: Dover, 1958.

Morse, P. M. y Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. Nueva York: McGraw-Hill, págs. 467-469, 1953.

Spiegel, M. R. Teoría y problemas de las transformadas de Laplace. Nueva York: McGraw-Hill, 1965.

Widder, D. V. La transformada de Laplace. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 1941.


Algoritmos

La transformada de Laplace se define como una transformada unilateral o unilateral. Esta definición asume que la señal F(t) solo se define para todos los números reales t ≥ 0, o F(t) = 0 para t & lt 0. Por lo tanto, para una señal generalizada con F(t) ≠ 0 para t & lt 0, la transformada de Laplace de F(t) da el mismo resultado que si F(t) se multiplica por una función escalonada de Heaviside.


Ver el vídeo: 169. Transformada de Laplace de una exponencial, a partir de la definición (Diciembre 2021).