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2.3: Encuentra la ecuación de una recta dada su gráfica


Los resultados del aprendizaje

  1. Calcula la pendiente de una recta dada su gráfica.
  2. Encuentra la intersección con el eje y de una línea dada su gráfica.
  3. Encuentra la ecuación de una recta dada su gráfica.

Hay dos formas principales de representar una línea: la primera es con su gráfico y la segunda es con su ecuación. En esta sección, practicaremos cómo encontrar la ecuación de la línea si nos dan la gráfica de la línea. Los dos números clave en la ecuación de una línea son la pendiente y la intersección con el eje y. Por lo tanto, los pasos principales para encontrar la ecuación de una línea son encontrar la pendiente y la intersección con el eje y. En estadística, a menudo se nos presenta una gráfico de dispersión donde podemos mirar la línea. Una vez que tenemos la gráfica de la línea, obtener la ecuación es útil para hacer predicciones basadas en la línea.

Hallar la pendiente de una recta dada su gráfica

Los pasos a seguir para precisar la pendiente de la recta dada su gráfica son los siguientes.

Paso 1: Identifica dos puntos en la línea. Dos puntos son suficientes, pero se recomienda encontrar puntos con coordenadas agradables (x ) y (y ).

Paso 2: La pendiente es la subida sobre la carrera. Por lo tanto, si los puntos tienen coordenadas ( left (x_1, y_1 right) ) y ( left (x_2, : y_2 right) ), entonces la pendiente es:

[Pendiente : = : frac {Subida} {Correr} = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra a continuación.

Solución

Primero, ubicamos puntos en la línea con los que es tan fácil trabajar como sea posible. Los puntos con coordenadas enteras son (0, -4) y (2,2).

A continuación, usamos la fórmula de subida sobre carrera para encontrar la pendiente de la línea.

[Pendiente : = : frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} = frac {2- left (-4 right)} {2-0} = frac {6} {2} = 3 nonumber ]

Hallar la intersección con el eje y en la gráfica

Si la parte del gráfico que está a la vista incluye el eje y, entonces la intersección con el eje y es muy fácil de detectar. Solo ve dónde cruza el eje y. Por otro lado, si la parte del gráfico que se ve no contiene el eje y, entonces es mejor encontrar primero la ecuación de la línea y luego usar la ecuación para encontrar la intersección con el eje y.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentra la intersección con el eje y de la línea que se muestra a continuación.

Solución

Simplemente miramos la línea y notamos que cruza el eje y en (y = 1 ). Por lo tanto, la intersección con el eje y es 1 o (0,1).

Encontrar la ecuación de la recta dada su gráfica

Si le dan la gráfica de una línea y desea encontrar su ecuación, entonces primero encuentre la pendiente como en el Ejemplo ( PageIndex {1} ). Luego usa uno de los puntos que encontró ( left (x_1, : y_1 right) ) cuando calculó la pendiente, (m ), y lo puso en el ecuación de pendiente de punto:

[y-y_1 = m left (x-x_1 right) nonumber ]

Luego, multiplica la pendiente y agrega (y_1 ) a ambos lados para obtener (y ) por sí mismo.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentra la ecuación de la línea que se muestra a continuación.

Solución

Primero encontramos la pendiente identificando dos buenos puntos. Observe que la línea pasa por (0, -1) y (3,1). Ahora calcule la pendiente usando la fórmula de subida sobre carrera:

[Pendiente : = frac {: subida} {carrera} = frac {1- izquierda (-1 derecha)} {3-0} = frac {2} {3} nonumber ]

Luego use la ecuación de pendiente con el punto (0, -1).

[y- left (-1 right) = frac {2} {3} left (x-0 right) nonumber ]

Ahora simplifica:

[y + 1 = frac {2} {3} x nonumber ]

Finalmente reste 1 de ambos lados para obtener:

[y = frac {2} {3} x-1 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Se realizó un estudio para observar la relación entre los pies cuadrados de una casa y el precio de la casa. El gráfico de dispersión y la línea de regresión se muestran a continuación. Encuentra la ecuación de la recta de regresión.

Solución

Primero encontramos la pendiente identificando dos buenos puntos. Tendrá que mirarlo y notar que la línea pasa por (1600, 300000) y (2000,400000). Ahora calcule la pendiente usando la fórmula de subida sobre carrera:

[ frac {: subida} {correr} = frac {400000-300000} {2000-1600} = frac {100000} {400} = 250 nonumber ]

Luego use la ecuación de pendiente de punto con el punto (2000,400000).

[y- left (400000 right) = 250 left (x-2000 right) nonumber ]

Ahora simplifica:

[y-400000 = 250x-500000 nonumber ]

Finalmente agregue 400000 a ambos lados para obtener:

[y = 250x-100000 nonumber ]

Observe que aunque la intersección con el eje y no es visible en la gráfica de la línea, podemos ver en la ecuación de la línea que la intersección con el eje y es -100000 o (0, -100000).

Ejercicio

La línea de regresión y el diagrama de dispersión a continuación muestran el resultado de encuestas que se tomaron en varios años para averiguar el porcentaje de hogares que tenían un teléfono fijo.

Encuentra la ecuación de esta recta de regresión.