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4: geometría vectorial


4: geometría vectorial

Colección secundaria de matemáticas

Incluye un Powerpoint, una hoja de trabajo, una evaluación y preguntas de trabajos anteriores.

Reseñas

Vectores avanzados: demostración de líneas rectas y líneas paralelas (GCSE Maths 9-1)

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Contenido

Las rotaciones en cuatro dimensiones son de dos tipos: rotaciones simples y rotaciones dobles.

Rotaciones simples Editar

Una simple rotación R alrededor de un centro de rotación O deja todo un plano A a O (eje-plano) fijo. Todo plano B que es completamente ortogonal [a] a A interseca a A en un cierto punto P. Cada uno de estos puntos P es el centro de la rotación 2D inducida por R en B. Todas estas rotaciones 2D tienen el mismo ángulo de rotación α.

Las medias líneas de O en el plano del eje A no se desplazan las medias líneas de O ortogonal a A se desplazan a través de α todas las demás medias líneas se desplazan a través de un ángulo menor que α.

Rotaciones dobles Editar

Para cada rotación R de 4 espacios (fijando el origen), hay al menos un par de 2 planos ortogonales A y B, cada uno de los cuales es invariante y cuya suma directa AB es todo de 4 espacios. Por tanto, R operando en cualquiera de estos planos produce una rotación ordinaria de ese plano. Para casi todo R (todo el conjunto de rotaciones de 6 dimensiones excepto un subconjunto de 3 dimensiones), los ángulos de rotación α en el plano A y β en el plano B, ambos asumidos como distintos de cero, son diferentes. Los ángulos de rotación desiguales α y β satisfacen −π & lt α , β & lt π están casi [b] determinados únicamente por R. Suponiendo que el espacio 4 está orientado, entonces las orientaciones de los 2 planos A y B pueden elegirse de acuerdo con esta orientación de dos maneras. Si los ángulos de rotación son desiguales ( αβ ), R a veces se denomina "doble rotación".

En ese caso de una doble rotación, A y B son el único par de planos invariantes, y las medias líneas desde el origen en A, B se desplazan a través de α y β respectivamente, y las medias líneas desde el origen no en A o B se desplazan a través de ángulos estrictamente entre α y β.

Rotaciones isoclínicas Editar

Si los ángulos de rotación de una rotación doble son iguales, entonces hay infinitos planos invariantes en lugar de solo dos, y todas las medias líneas de O se desplazan a través del mismo ángulo. Tales rotaciones se llaman isoclínico o rotaciones equiangulares, o Desplazamientos de Clifford. Atención: no todos los planos que pasan por O son invariantes bajo rotaciones isoclínicas, solo los planos que están abarcados por una media línea y la correspondiente media línea desplazada son invariantes.

Suponiendo que se ha elegido una orientación fija para el espacio de 4 dimensiones, las rotaciones isoclínicas de 4D pueden clasificarse en dos categorías. Para ver esto, considere una rotación isoclínica R y tome un conjunto ordenado de orientación consistente UNED, BUEY, OY, ONZ de semilíneas mutuamente perpendiculares en O (denotado como OUXYZ) de modo que OU y OX abarcan un plano invariante y, por lo tanto, OY y OZ también abarcan un plano invariante. Ahora suponga que solo se especifica el ángulo de rotación α. Luego hay en general cuatro rotaciones isoclínicas en los planos OUX y OYZ con ángulo de rotación α, dependiendo de los sentidos de rotación en OUX y OYZ.

Hacemos la convención de que los sentidos de rotación de OU a OX y de OY a OZ se consideran positivos. Entonces tenemos las cuatro rotaciones R1 = (+α, +α) , R2 = (−α, −α) , R3 = (+α, −α) y R4 = (−α, +α) . R1 y R2 son inversos el uno del otro también lo son R3 y R4 . Siempre que α se encuentre entre 0 y π, estas cuatro rotaciones serán distintas.

Las rotaciones isoclínicas con signos similares se denotan como isoclínica izquierda aquellos con signos opuestos como isoclínica derecha. Las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha están representadas respectivamente por multiplicación izquierda y derecha por cuaterniones unitarios, ver el párrafo "Relación con los cuaterniones" a continuación.

Las cuatro rotaciones son diferentes por pares excepto si α = 0 o α = π. El ángulo α = 0 corresponde a la rotación de identidad α = π corresponde a la inversión central, dada por el negativo de la matriz identidad. Estos dos elementos de SO (4) son los únicos que son simultáneamente isoclínicos de izquierda y derecha.

Las isoclinias izquierda y derecha definidas anteriormente parecen depender de qué rotación isoclínica específica se seleccionó. Sin embargo, cuando se selecciona otra rotación isoclínica R ′ con sus propios ejes OU ′, OX ′, OY ′, OZ ′, siempre se puede elegir el orden de U ′, X ′, Y ′, Z ′ tal que OUXYZ pueda ser transformado en OU′X′Y′Z ′ por una rotación en lugar de una rotación-reflexión (es decir, de modo que la base ordenada OU ′, OX ′, OY ′, OZ ′ también sea consistente con la misma elección fija de orientación como OU, OX, OY, OZ). Por lo tanto, una vez que se ha seleccionado una orientación (es decir, un sistema OUXYZ de ejes que se denota universalmente como diestros), se puede determinar el carácter izquierdo o derecho de una rotación isoclínica específica.

Estructura de grupo de SO (4) Editar

Cada plano que pasa por el centro de rotación O es el plano del eje de un subgrupo conmutativo isomorfo a SO (2). Todos estos subgrupos se conjugan mutuamente en SO (4).

Cada par de planos completamente ortogonales a través de O es el par de planos invariantes de un subgrupo conmutativo de SO (4) isomorfo a SO (2) × SO (2).

Estos grupos son toros máximos de SO (4), que se conjugan mutuamente en SO (4). Véase también el toro de Clifford.

Todas las rotaciones isoclínicas a la izquierda forman un subgrupo no conmutativo S 3 L de SO (4), que es isomorfo al grupo multiplicativo S 3 unidades de cuaterniones. Todas las rotaciones isoclínicas a la derecha también forman un subgrupo S 3 R de SO (4) isomorfo a S 3. Ambas cosas S 3 L y S 3 R son subgrupos máximos de SO (4).

Cada rotación isoclínica izquierda conmuta con cada rotación isoclínica derecha. Esto implica que existe un producto directo S 3 L × S 3 R con subgrupos normales S 3 L y S 3 R ambos grupos de factores correspondientes son isomorfos al otro factor del producto directo, es decir, isomorfos a S 3. (Esto no es SO (4) o un subgrupo de él, porque S 3 L y S 3 R no son disjuntos: la identidad yo y la inversión central -I cada uno pertenece a ambos S 3 L y S 3 R .)

Cada rotación A 4D es de dos formas el producto de las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha. AL y AR . AL y AR se determinan juntos hasta la inversión central, es decir, cuando ambos AL y AR se multiplican por la inversión central, su producto es A nuevamente.

Esto implica que S 3 L × S 3 R es el grupo de cobertura universal de SO (4) - su única cubierta doble - y que S 3 L y S 3 R son subgrupos normales de SO (4). La rotación de identidad I y la inversión central -I formar un grupo C2 de orden 2, que es el centro de SO (4) y de ambos S 3 L y S 3 R . El centro de un grupo es un subgrupo normal de ese grupo. El grupo de factores de C2 en SO (4) es isomorfo a SO (3) × SO (3). Los grupos de factores de S 3 L por C2 y de S 3 R por C2 son cada uno isomorfo a SO (3). De manera similar, los grupos de factores de SO (4) por S 3 L y de SO (4) por S 3 R son cada uno isomorfo a SO (3).

La topología de SO (4) es la misma que la del grupo de Lie SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2), es decir, el espacio P 3 × S 3 < displaystyle mathbb

^ <3> times mathbb ^ <3>> donde P 3 < displaystyle mathbb

^ <3>> es el espacio proyectivo real de dimensión 3 y S 3 < displaystyle mathbb ^ <3>> es la 3-esfera. Sin embargo, cabe destacar que, como grupo de Lie, SO (4) no es un producto directo de los grupos de Lie, por lo que no es isomorfo a SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2 ).

Propiedad especial de SO (4) entre grupos de rotación en general Editar

Los grupos de rotación de dimensiones impares no contienen la inversión central y son grupos simples.

Los grupos de rotación de dimensión uniforme contienen la inversión central:I y tener el grupo C2 = < I , −I > como su centro. Incluso para n ≥ 6, SO (n) es casi simple porque el grupo de factores SO (n) / C2 de SO (n) por su centro es un grupo simple.

SO (4) es diferente: no hay conjugación por ningún elemento de SO (4) que transforme las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha entre sí. Las reflexiones transforman una rotación isoclínica izquierda en una isoclínica derecha por conjugación, y viceversa. Esto implica que bajo el grupo O (4) de todos isometrías con punto fijo O los distintos subgrupos S 3 L y S 3 R se conjugan entre sí, por lo que no pueden ser subgrupos normales de O (4). El grupo de rotación 5D SO (5) y todos los grupos de rotación superior contienen subgrupos isomorfos a O (4). Como SO (4), todos los grupos de rotación de dimensiones pares contienen rotaciones isoclínicas. Pero a diferencia de SO (4), en SO (6) y en todos los grupos de rotación de dimensiones pares superiores cualesquiera dos rotaciones isoclínicas a través del mismo ángulo se conjugan. El conjunto de todas las rotaciones isoclínicas ni siquiera es un subgrupo de SO (2 norte ), y mucho menos un subgrupo normal.

SO (4) se identifica comúnmente con el grupo de mapeos lineales isométricos que preservan la orientación de un espacio vectorial 4D con un producto interno sobre los números reales sobre sí mismo.

Con respecto a una base ortonormal en dicho espacio, SO (4) se representa como el grupo de matrices ortogonales reales de cuarto orden con determinante +1.

Descomposición isoclínica Editar

Una rotación 4D dada por su matriz se descompone en una rotación isoclínica izquierda y una isoclínica derecha [2] de la siguiente manera:

ser su matriz con respecto a una base ortonormal arbitraria.

Calcule a partir de esto el llamado matriz asociada

M tiene rango uno y es de norma euclidiana unitaria como vector 16D si y solo si A es de hecho una matriz de rotación 4D. En este caso existen números reales a, B, C, D y pag, q, r, s tal que

Hay exactamente dos conjuntos de a, B, C, D y pag, q, r, s tal que a 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 1 y pag 2 + q 2 + r 2 + s 2 = 1. Son los opuestos del otro.

La matriz de rotación entonces es igual a

Esta fórmula se debe a Van Elfrinkhof (1897).

El primer factor en esta descomposición representa una rotación isoclínica izquierda, el segundo factor una rotación isoclínica derecha. Los factores se determinan hasta la matriz de identidad negativa de cuarto orden, es decir, la inversión central.

Relación con los cuaterniones Editar

Un punto en el espacio de 4 dimensiones con coordenadas cartesianas (tu, X, y, z) puede estar representado por un cuaternión PAG = tu + xi + yj + zk .

Una rotación isoclínica a la izquierda se representa mediante la multiplicación a la izquierda por un cuaternión unitario. QL = a + bi + cj + dk . En lenguaje matricial-vectorial esto es

Asimismo, una rotación isoclínica a la derecha se representa mediante la multiplicación a la derecha por un cuaternión unitario. QR = pag + qi + rj + sk , que está en forma de matriz-vector

En la sección anterior (# descomposición isoclínica) se muestra cómo una rotación 4D general se divide en factores isoclínicos izquierda y derecha.

En lenguaje cuaternario, la fórmula de Van Elfrinkhof dice

u ′ + x ′ i + y ′ j + z ′ k = (a + b yo + c j + d k) (u + x i + y j + z k) (p + q yo + r j + s k),

Según el matemático alemán Felix Klein esta fórmula ya la conocía Cayley en 1854 [ cita necesaria ] .

La multiplicación de cuaterniones es asociativa. Por lo tanto,

lo que muestra que las rotaciones isoclínica izquierda e isoclínica derecha conmutan.

Los valores propios de las matrices de rotación 4D Editar

Los cuatro valores propios de una matriz de rotación 4D generalmente ocurren como dos pares conjugados de números complejos de magnitud unitaria. Si un valor propio es real, debe ser ± 1, ya que una rotación deja la magnitud de un vector sin cambios. El conjugado de ese valor propio también es la unidad, lo que produce un par de vectores propios que definen un plano fijo, por lo que la rotación es simple. En notación de cuaterniones, una rotación adecuada (es decir, no inversora) en SO (4) es una rotación simple adecuada si y solo si las partes reales de los cuaterniones unitarios QL y QR son iguales en magnitud y tienen el mismo signo. [c] Si ambos son cero, todos los valores propios de la rotación son la unidad y la rotación es la rotación nula. Si las partes reales de QL y QR no son iguales, entonces todos los valores propios son complejos y la rotación es una rotación doble.

La fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D Editar

Nuestro espacio 3D ordinario se trata convenientemente como el subespacio con el sistema de coordenadas 0XYZ del espacio 4D con el sistema de coordenadas UXYZ. Su grupo de rotación SO (3) se identifica con el subgrupo de SO (4) formado por las matrices

En la fórmula de Van Elfrinkhof en la subsección anterior, esta restricción a tres dimensiones conduce a pag = a , q = −B , r = −C , s = −D , o en representación de cuaternión: QR = QL′ = QL −1. La matriz de rotación 3D se convierte en

que es la representación de la rotación 3D por sus parámetros de Euler-Rodrigues: a, B, C, D .

La fórmula del cuaternión correspondiente PAG' = QPQ −1, donde Q = QL , o, en forma expandida:

x ′ yo + y ′ j + z ′ k = (a + segundo yo + c j + re k) (x yo + y j + z k) (a - segundo yo - do j - re k)

Coordenadas de Hopf Editar

Las rotaciones en el espacio 3D se hacen matemáticamente mucho más manejables mediante el uso de coordenadas esféricas. Cualquier rotación en 3D se puede caracterizar por un eje de rotación fijo y un plano invariante perpendicular a ese eje. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar el plano xy como plano invariante y el eje z como eje fijo. Dado que las distancias radiales no se ven afectadas por la rotación, podemos caracterizar una rotación por su efecto sobre la esfera unitaria (2 esferas) mediante coordenadas esféricas referidas al eje fijo y al plano invariante:

Porque X 2 + y 2 + z 2 = 1, los puntos se encuentran en la 2-esfera. Un punto en <θ0, φ0> girado por un ángulo φ alrededor del eje z se especifica simplemente por <θ0, φ0 + φ>. Si bien las coordenadas hiperesféricas también son útiles al tratar con rotaciones 4D, las coordenadas de Hopf proporcionan un sistema de coordenadas aún más útil para 4D <ξ1, η, ξ2>, [3] que son un conjunto de tres coordenadas angulares que especifican una posición en la 3-esfera. Por ejemplo:

Porque tu 2 + X 2 + y 2 + z 2 = 1, los puntos se encuentran en la 3-esfera.

En el espacio 4D, cada rotación alrededor del origen tiene dos planos invariantes que son completamente ortogonales entre sí y se cruzan en el origen, y están rotados por dos ángulos independientes. ξ1 y ξ2 . Sin pérdida de generalidad, podemos elegir, respectivamente, los planos uz y xy como planos invariantes. Una rotación en 4D de un punto <ξ10, η0, ξ20> a través de ángulos ξ1 y ξ2 entonces simplemente se expresa en coordenadas de Hopf como <ξ10 + ξ1, η0, ξ20 + ξ2> .

Cada rotación en el espacio 3D tiene una línea de eje invariante que no cambia con la rotación. La rotación se especifica completamente especificando el eje de rotación y el ángulo de rotación alrededor de ese eje. Sin pérdida de generalidad, este eje puede elegirse como el eje z de un sistema de coordenadas cartesianas, lo que permite una visualización más sencilla de la rotación.

En el espacio 3D, las coordenadas esféricas <θ, φ> puede verse como una expresión paramétrica de la 2-esfera. Para θ fijo, describen círculos en la esfera 2 que son perpendiculares al eje z y estos círculos pueden verse como trayectorias de un punto en la esfera. Un punto <θ0, φ0> en la esfera, bajo una rotación sobre el eje z, seguirá una trayectoria <θ0, φ0 + φ> a medida que varía el ángulo φ. La trayectoria puede verse como una rotación paramétrica en el tiempo, donde el ángulo de rotación es lineal en el tiempo: φ = ωt , siendo ω una "velocidad angular".

De manera análoga al caso 3D, cada rotación en el espacio 4D tiene al menos dos planos de eje invariantes que quedan invariables por la rotación y son completamente ortogonales (es decir, se cruzan en un punto). La rotación se especifica completamente especificando los planos de los ejes y los ángulos de rotación alrededor de ellos. Sin pérdida de generalidad, estos planos de eje se pueden elegir para que sean los planos uz y xy de un sistema de coordenadas cartesianas, lo que permite una visualización más simple de la rotación.

Las rotaciones en cuatro dimensiones se pueden derivar de la fórmula de rotación de Rodrigues y la fórmula de Cayley. Sea A una matriz de simetría sesgada de 4 × 4. La matriz A asimétrica sesgada se puede descomponer de forma única como

en dos matrices simétricas sesgadas A1 y A2 satisfaciendo las propiedades A1A2 = 0 , A1 3 = −A1 y A2 3 = −A2 , donde ∓θ1I y ∓θ2I son los valores propios de A. Luego, las matrices de rotación 4D se pueden obtener a partir de las matrices simétricas sesgadas A1 y A2 por la fórmula de rotación de Rodrigues y la fórmula de Cayley. [6]

Sea A una matriz de simetría sesgada distinta de cero de 4 × 4 con el conjunto de valores propios

Entonces A se puede descomponer como

donde A1 y A2 son matrices asimétricas que satisfacen las propiedades

Además, las matrices asimétricas A1 y A2 se obtienen únicamente como

es una matriz de rotación en mi 4, que se genera mediante la fórmula de rotación de Rodrigues, con el conjunto de valores propios

es una matriz de rotación en mi 4, que se genera mediante la fórmula de rotación de Cayley, de manera que el conjunto de valores propios de R es,

La matriz de rotación generadora se puede clasificar con respecto a los valores θ1 y θ2 como sigue:


La magnitud del vector sigue siendo la longitud del vector incluso en dimensiones superiores.

Puede ser útil recordar las raíces latinas de tres palabras aquí:

vector en latín significa "transportista", como un barco o un caballo, o "pasajero", algo que se usa para dar un paseo. (Relacionado con vehículo, una cosa en la que viajas.)

magnitud es el latín anglicizado para "grandeza". (Relacionado con lupa—Un "biggifier".)

dirección proviene de un verbo latino para "dirigir", es decir, elegir en qué dirección viaja un vehículo.

Cuando los físicos quisieron nombrar una cantidad matemática que tomaría un punto por un "paseo", denotando simultáneamente tanto la distancia como la dirección, tomaron prestadas las palabras latinas para estas cosas. La magnitud de un vector es simplemente qué tan lejos lleva un punto.

Es fácil perder de vista esto cuando los conceptos se han abstraído a dimensiones superiores e incluso a mayores niveles de abstracción, pero "dar una vuelta, una cierta distancia en una determinada dirección", es la metáfora subyacente.

La forma más fácil de intuir esto (en dimensiones finitas) es intentar imaginar su concepción de "longitud del desplazamiento" en más de 3 dimensiones.

Piense en la forma en que el concepto de longitud en 2 dimensiones se extiende al concepto de longitud en 3 dimensiones cuando se agrega un eje ortogonal adicional. En teoría (aunque es difícil de visualizar), podríamos agregar un cuarto eje ortogonal y crear un espacio de 4 dimensiones con distancias y longitudes. La magnitud vectorial en 4 dimensiones es la longitud del desplazamiento en este nuevo espacio.

En términos generales el concepto de longitud corresponde al norma que es una función que asigna una longitud o tamaño estrictamente positivo a cada vector en un espacio vectorial para el vector cero se le asigna una longitud de cero.

En un espacio euclidiano de n dimensiones $ mathbb$, la noción intuitiva de longitud del vector $ x = (x_1, x_2,. x_n) $ se expresa por

que da la distancia ordinaria desde el origen al punto X, como consecuencia del teorema de Pitágoras.

Si tiene 4 variables $ x, y, z, w $, y mueve, cambie estas variables por $ delta x, delta y, delta z, delta w $ entonces $ sqrt <( delta x) ^ 2+ ( delta y) ^ 2 + ( delta z) 2+ ( delta w) ^ 2> $ es la magnitud de su cambio.

Hay muchas respuestas técnicas a su pregunta, pero si damos por sentado el concepto de rotación en dimensiones más altas, puede comprender la longitud de un vector de la misma manera que lo entiende en dimensiones más bajas.

Un vector es un objeto unidimensional, siempre puede rotarlo hasta que se alinee con el eje x, entonces su longitud es exactamente la longitud habitual en el eje x.

Puedes entender la fórmula $ | vec x | = sqrt < sum_i x_i ^ 2> $, usando múltiples aplicaciones del teorema de Pitágoras, todo en planos bidimensionales.

Por ejemplo, para un vector de cuatro dimensiones, hay un componente del vector a lo largo de la cuarta dimensión. Si resta ese componente, el resto es un vector en el espacio $ x $ - $ y $ - $ z $. Llamémoslo $ vec u = vec x - x_4 hat e_4 $. Puede rotar el espacio para que dos vectores $ vec u $ y $ hat e_4 $ estén en su plano $ x $ - $ y $ (o mueva el plano $ u $ - $ e_4 $). Luego, por el teorema de Pitágoras, $ | vec x | = sqrt <| vec u | ^ 2 + | x_4 hat e_4 | ^ 2> = sqrt <| vec u | ^ 2 + x_4 ^ 2> $. Este es solo un triángulo rectángulo en el espacio bidimensional definido por $ vec u $ y $ hat e_4 $, y $ vec u $ y $ x_4 hat e_4 $ son sus lados. Pero sabes que $ | vec u | ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 $ (esta es solo la longitud en la dimensión del árbol, puedes deducir esto con el mismo argumento anterior). Por lo tanto, $ | vec x | = sqrt$.


Vector 4

Devuelve el producto escalar de dos vectores; consulte http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html El elemento W se ignora.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Devuelve verdadero si el vector A es igual al vector B (A == B) dentro de una tolerancia de error especificada

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Devuelve verdadero si el vector A es igual al vector B (A == B)

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Determina si el vector está normalizado / unidad (longitud 1). El elemento W. se ignora.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Determina si el vector está normalizado / unidad (longitud 1) dentro de la tolerancia cuadrada especificada. El elemento W. se ignora.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Devuelve la longitud del vector.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Devuelve la longitud al cuadrado del vector.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Devuelve la longitud del vector. El elemento W. se ignora.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

LongitudXYZ al cuadrado (Vector4)

Devuelve la longitud al cuadrado del vector. El elemento W. se ignora.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Obtiene una copia negada del vector. Equivalente a -Vector para scripts.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Normal inseguro XYZ (Vector4)

Calcula la versión unitaria normalizada del vector sin verificar la longitud cero. El elemento W se ignora y el vector devuelto tiene W = 0.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Normalizar en el lugar XYZ (Vector4)

Normalice este vector en el lugar si es lo suficientemente grande o configúrelo en (0,0,0,0) de lo contrario. El elemento W se ignora y el vector devuelto tiene W = 0.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Obtiene una copia unitaria normalizada del vector, lo que garantiza que sea seguro hacerlo en función de la longitud. El elemento W se ignora y el vector devuelto tiene W = 0. Devuelve el vector cero si la longitud del vector es demasiado pequeña para normalizar de forma segura.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Devuelve verdadero si el vector A no es igual al vector B (A! = B) dentro de una tolerancia de error especificada

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

No es exactamente igual (Vector4)

Devuelve verdadero si el vector A no es igual al vector B (A! = B) dentro de una tolerancia de error especificada

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Transformar Vector4 por Matrix

Transforma el vector4 de entrada por una matriz4x4 proporcionada y devuelve el vector4 resultante.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Asigne los valores del vector proporcionado.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Determina si algún componente no es un número (NAN)

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

El vector 4 es casi cero 3

Comprueba si el vector está cerca de cero dentro de una tolerancia especificada. El elemento W. se ignora.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Comprueba si todos los componentes del vector son exactamente cero.

El objetivo es la biblioteca de matemáticas de Kismet

Vector 4 Mirror por Vector 3

Dado un vector de dirección y una superficie normal, devuelve el vector reflejado a través de la superficie normal. ¡Produce un resultado como el de enfocar un espejo con un láser! El elemento W. se ignora.


Obtiene un valor que indica si las operaciones vectoriales están sujetas a la aceleración del hardware a través del soporte intrínseco JIT.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos son los valores absolutos de los elementos del vector dado.

Devuelve un nuevo vector cuyos valores son la suma de cada par de elementos de dos vectores dados.

Devuelve un nuevo vector realizando una operación And Not bit a bit en cada par de elementos correspondientes en dos vectores.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de bytes sin firmar.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de punto flotante de doble precisión.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de enteros de 16 bits.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de números enteros.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de enteros largos.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de bytes con signo.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de punto flotante de precisión simple.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de enteros de 16 bits sin signo.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de enteros sin signo.

Reinterpreta los bits de un vector especificado en los de un vector de enteros largos sin signo.

Devuelve un nuevo vector realizando una operación And bit a bit en cada par de elementos en dos vectores.

Devuelve un nuevo vector realizando una operación Or bit a bit en cada par de elementos en dos vectores.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos son los valores integrales más pequeños que son mayores o iguales a los elementos del vector dado.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos son los valores integrales más pequeños que son mayores o iguales a los elementos del vector dado.

Crea un nuevo vector de precisión simple con elementos seleccionados entre dos vectores de origen de precisión simple especificados basados ​​en un vector de máscara integral.

Crea un nuevo vector de doble precisión con elementos seleccionados entre dos vectores de origen de doble precisión especificados basados ​​en un vector de máscara integral.

Crea un nuevo vector de un tipo especificado con elementos seleccionados entre dos vectores de origen especificados del mismo tipo en función de un vector de máscara integral.

Convierte un Vector & ltInt64 & gt en un Vector & ltDouble & gt.

Convierte un Vector & ltUInt64 & gt en un Vector & ltDouble & gt.

Convierte un Vector & ltSingle & gt en un Vector & ltInt32 & gt.

Convierte un Vector & ltDouble & gt en un Vector & ltInt64 & gt.

Convierte un Vector & ltInt32 & gt en un Vector & ltSingle & gt.

Convierte un Vector & ltUInt32 & gt en un Vector & ltSingle & gt.

Convierte un Vector & ltSingle & gt en un Vector & ltUInt32 & gt.

Convierte un Vector & ltDouble & gt en un Vector & ltUInt64 & gt.

Devuelve un nuevo vector cuyos valores son el resultado de dividir los elementos del primer vector por los elementos correspondientes del segundo vector.

Devuelve el producto escalar de dos vectores.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de dos vectores de precisión doble especificados son iguales.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de dos vectores integrales especificados son iguales.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos indican si los elementos de dos vectores enteros largos especificados son iguales.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de dos vectores de precisión simple especificados son iguales.

Devuelve un nuevo vector de un tipo especificado cuyos elementos indican si los elementos de dos vectores especificados del mismo tipo son iguales.

Devuelve un valor que indica si cada par de elementos en los vectores dados es igual.

Devuelve un valor que indica si cualquier par de elementos en los vectores dados es igual.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos son los valores integrales más grandes que son menores o iguales a los elementos del vector dado.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos son los valores integrales más grandes que son menores o iguales a los elementos del vector dado.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector de punto flotante de doble precisión son mayores que sus elementos correspondientes en un segundo vector de punto flotante de doble precisión.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector integral son mayores que sus elementos correspondientes en un segundo vector integral.

Devuelve un nuevo vector entero largo cuyos elementos indican si los elementos de un vector entero largo son mayores que sus elementos correspondientes en un segundo vector entero largo.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector de punto flotante de precisión simple son mayores que sus elementos correspondientes en un segundo vector de punto flotante de precisión simple.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos indican si los elementos de un vector de un tipo especificado son mayores que sus elementos correspondientes en el segundo vector del mismo tiempo.

Devuelve un valor que indica si todos los elementos del primer vector son mayores que los elementos correspondientes del segundo vector.

Devuelve un valor que indica si algún elemento del primer vector es mayor que el elemento correspondiente del segundo vector.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector son mayores o iguales que sus elementos correspondientes en el segundo vector de punto flotante de doble precisión.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector integral son mayores o iguales que sus elementos correspondientes en el segundo vector integral.

Devuelve un nuevo vector de entero largo cuyos elementos indican si los elementos de un vector de entero largo son mayores o iguales que sus elementos correspondientes en el segundo vector de entero largo.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector son mayores o iguales que sus elementos correspondientes en el segundo vector de punto flotante de precisión simple.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos indican si los elementos de un vector de un tipo especificado son mayores o iguales que sus elementos correspondientes en el segundo vector del mismo tipo.

Devuelve un valor que indica si todos los elementos del primer vector son mayores o iguales que todos los elementos correspondientes del segundo vector.

Devuelve un valor que indica si algún elemento del primer vector es mayor o igual que el elemento correspondiente del segundo vector.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector de punto flotante de doble precisión son menores que sus elementos correspondientes en un segundo vector de punto flotante de doble precisión.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector integral son menores que sus elementos correspondientes en un segundo vector integral.

Devuelve un nuevo vector entero largo cuyos elementos indican si los elementos de un vector entero largo son menores que sus elementos correspondientes en un segundo vector entero largo.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector de precisión simple son menores que sus elementos correspondientes en un segundo vector de precisión simple.

Devuelve un nuevo vector de un tipo especificado cuyos elementos indican si los elementos de un vector son menores que sus elementos correspondientes en el segundo vector.

Devuelve un valor que indica si todos los elementos del primer vector son menores que sus elementos correspondientes en el segundo vector.

Devuelve un valor que indica si algún elemento del primer vector es menor que el elemento correspondiente del segundo vector.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector de punto flotante de doble precisión son menores o iguales que sus elementos correspondientes en un segundo vector de punto flotante de doble precisión.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector integral son menores o iguales a sus elementos correspondientes en un segundo vector integral.

Devuelve un nuevo vector entero largo cuyos elementos indican si los elementos de un vector entero largo son menores o iguales a sus elementos correspondientes en un segundo vector entero largo.

Devuelve un nuevo vector integral cuyos elementos indican si los elementos de un vector de punto flotante de precisión simple son menores o iguales que sus elementos correspondientes en un segundo vector de punto flotante de precisión simple.

Devuelve un nuevo vector cuyos elementos indican si los elementos de un vector son menores o iguales a sus elementos correspondientes en el segundo vector.

Devuelve un valor que indica si todos los elementos del primer vector son menores o iguales a sus elementos correspondientes del segundo vector.

Devuelve un valor que indica si algún elemento del primer vector es menor o igual que el elemento correspondiente del segundo vector.

Returns a new vector whose elements are the maximum of each pair of elements in the two given vectors.

Returns a new vector whose elements are the minimum of each pair of elements in the two given vectors.

Returns a new vector whose values are a scalar value multiplied by each of the values of a specified vector.

Returns a new vector whose values are the values of a specified vector each multiplied by a scalar value.

Returns a new vector whose values are the product of each pair of elements in two specified vectors.

Narrows two Vector<Double> instances into one Vector<Single> .

Narrows two Vector<Int16> instances into one Vector<SByte> .

Narrows two Vector<Int32> instances into one Vector<Int16> .

Narrows two Vector<Int64> instances into one Vector<Int32> .

Narrows two Vector<UInt16> instances into one Vector<Byte> .

Narrows two Vector<UInt32> instances into one Vector<UInt16> .

Narrows two Vector<UInt64> instances into one Vector<UInt32> .

Returns a new vector whose elements are the negation of the corresponding element in the specified vector.

Returns a new vector whose elements are obtained by taking the one's complement of a specified vector's elements.

Returns a new vector whose elements are the square roots of a specified vector's elements.

Returns a new vector whose values are the difference between the elements in the second vector and their corresponding elements in the first vector.

Widens a Vector<Byte> into two Vector<UInt16> instances.

Widens a Vector<Int16> into two Vector<Int32> instances.

Widens a Vector<Int32> into two Vector<Int64> instances.

Widens a Vector<SByte> into two Vector<Int16> instances.

Widens a Vector<Single> into two Vector<Double> instances.

Widens a Vector<UInt16> into two Vector<UInt32> instances.

Widens a Vector<UInt32> into two Vector<UInt64> instances.

Returns a new vector by performing a bitwise exclusive Or ( XOr ) operation on each pair of elements in two vectors.


Proof that the 24 cell IS the 4 dimensional vector equilibrium

The sixth four dimensional ‘Platonic Solid’ known as the 24 cell IS the 4 dimensional vector equilibrium. (For basic information about the 6 regular convex polytopes I suggest starting here http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_regular_4-polytope. As far as I know this has not been noted before as googling the term 𔄜 dimensional vector equilibrium” at this time brings up no relevant results other than this page here. I have found one reference on Wolfram Mathworld that shows they are aware of the facts. The figure on the right is the most accurate diagram I have seen of this projection. Every point is connected to 8 other points.

The 24 cell is so named because it is bounded by 24 Octahedrons meeting at 24 points, 96 edges. The 24 points also form 96 equilateral triangular faces each of which is shared by 2 Octahedrons. When the vertices of the 24 cell are linked to the centre of the 4 dimensional figure the triangles form 96 tetrahedrons.

Although the 24 cells boundary is composed only of Octahedrons, internally the edges cell also form 12 cubes, 12 rhombic dodecahedrons, 3 hypercubes, and 12 cuboctahedra – but I am by no means finished counting all the incidental forms! Most likely the points of the dual of the hypercube known as the 16 cell are also present but not connected by edges.

To make these forms visible in 2 dimensional projection the 24 points can be arranged in 3 circles of 8 points with the central circle out of phase with the outer and inner circle. In 3 dimensional projection the central and outer circles should be separated into 2 circles of 4 points lifted above and below the plane of the 2 dimensional projection.

As the 24 cell is one of the 6 regular convex 4 dimensional solids, all 24 points are of course by definition equally distant from the centre of the 4 dimensional figure, and therefore all arranged on the hypersurface of a hypersphere of the same radius.

The 24 cell can be constructed from the hypercube (also known as the 8 cell or tesseract) by joining the centres of its adjacent squares.

Proof that the Points of the Triangles are the same distance apart as they are from the centre of the 24 cell

To be the 4 dimensional vector equilibrium the lengths of the edges of the 24 cell must be the same as the distance of the vertexes from the centre of the 4d form.
The proof that this is so can be done using only the Pythagorean theorem as follows.

First we calculate the distance of the vertexes of a hypercube from the centre of the hypercube.
The easiest way to do this is by creating a table showing the progression of distances as we climb up through the dimensions from the line, to the square, to the cube, to the hypercube.

Distances from the Centre to the various locations on Measure Polytopes of unit 2 Edge Length

VérticeBordeRostroSólidoHypersolid
Línea1
Cuadradoroot 21
Cuboroot 3root 21
Hypercuberoot 4root 3root 21
5D Measure Solidroot 5root 4root 3root 21

Using this table we see that the vertexes of the hypercube are exactly the same distance from their connected neighbors as they are from the centre of the hypercube. For convenience we have called this two units so as to make the calculations as simple as possible.

Using the Pythagorean theorem the distance between centre points of the square faces of the hypercube can be easily calculated to be root 2.
Therefore when the cubes of the hypercube are converted to their dual octahedra by connecting their square centres, every edge length of the equilateral triangles will be root2 and the vertexes of the triangles will be root2 units from the centre of the 4 dimensional form.

Still curious about the Vector Equilibrium and the 24 Cell ?

Here is a video (interesting mostly for its historical value) of Buckminster Fuller explaining the ‘jitterbug’ collapse of a vector equilibrium with rubber joints.|

Vector Equilibrium: R. Buckminster Fuller
R. Buckminster Fuller on “The Vector Equilibrium “: Everything I Know Sessions, Philly, PA: 1975.For additional videos go to


Magnitude and Direction of Vectors

The magnitude of a vector P Q &rarr is the distance between the initial point P and the end point Q . In symbols the magnitude of P Q &rarr is written as | &thinsp P Q &rarr &thinsp | .

If the coordinates of the initial point and the end point of a vector is given, the Distance Formula can be used to find its magnitude.

| &thinsp P Q &rarr &thinsp | = ( x 2 &minus x 1 ) 2 + ( y 2 &minus y 1 ) 2

Find the magnitude of the vector P Q &rarr whose initial point P is at ( 1 , 1 ) and end point is at Q is at ( 5 , 3 ) .

Substitute the values of x 1 , y 1 , x 2 , and y 2 .

The magnitude of P Q &rarr is about 4.5 .

Direction of a Vector

The direction of a vector is the measure of the angle it makes with a horizontal line .

One of the following formulas can be used to find the direction of a vector:

tan &theta = y x , where x is the horizontal change and y is the vertical change

tan &theta = y 2 &thinsp &minus &thinsp y 1 x 2 &thinsp &minus &thinsp x 1 , where ( x 1 , y 1 ) is the initial point and ( x 2 , y 2 ) is the terminal point.

Find the direction of the vector P Q &rarr whose initial point P is at ( 2 , 3 ) and end point is at Q is at ( 5 , 8 ) .

The coordinates of the initial point and the terminal point are given. Substitute them in the formula tan &theta = y 2 &thinsp &minus &thinsp y 1 x 2 &thinsp &minus &thinsp x 1 .

Find the inverse tan, then use a calculator.

The vector P Q &rarr has a direction of about 59 ° .

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How can we show that $P, Q$ and $R$ are collinear?

In other words, to prove collinearity, we would need to show ((mathbf-mathbf)=k(mathbf-mathbf)) for some constant (k) .

For our example, we have (mathbf-mathbf= 2(mathbf-mathbf)) , and so (mathbf-mathbf= -2(mathbf-mathbf)) , telling us that (P, Q) and (R) are collinear.

  1. A unit vector parallel to the (x) -axis is represented by (mathbf) and a unit vector parallel to the (y) -axis by (mathbf) . If (mathbf=amathbf+smathbf) and (mathbf=-amathbf+tmathbf) , where (a) is a constant and (s) and (t) are variables, show that the loci of (P) and (Q) are parallel straight lines. In this case find (mathbf) when (mathbf=2mathbf+3mathbf) and (OQ) is perpendicular to (OP) .

The locus of (P) will be the line (x = a) , while the locus of (Q) will be (x = -a) . These are parallel straight lines.

The diagram shows the case (a = 2) . The point (P) is at ((2,3)) , and (Q) is at ((-2,k)) .

We are told that (OP) and (OQ) are perpendicular, so the gradients of (OP) and (OQ) must multiply to (-1) .

We could alternatively use that (mathbf.mathbf=0) .

Thus (dfrac<3> <2> imes dfrac<-2>=-1 implies k = dfrac<4><3>) . Thus (mathbf = -2mathbf+dfrac<4><3>mathbf) .

UCLES A level Pure Mathematics Scholarship paper, QP 447/0, 1962, Q3

Question reproduced by kind permission of Cambridge Assessment Group Archives. The question remains Copyright University of Cambridge Local Examinations Syndicate (“UCLES”), All rights reserved.


Ver el vídeo: Algebra y Geometría Analítica Unidad 4 Vectores (Diciembre 2021).