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5.4: Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Aplicar las fórmulas de integración básicas.
  • Explique la importancia del teorema del cambio neto.
  • Usa el teorema del cambio neto para resolver problemas aplicados.
  • Aplicar las integrales de funciones pares e impares.

En esta sección, usamos algunas fórmulas de integración básicas estudiadas previamente para resolver algunos problemas aplicados clave. Es importante notar que estas fórmulas se presentan en términos de integrales indefinidas. Aunque las integrales definidas e indefinidas están estrechamente relacionadas, hay algunas diferencias clave a tener en cuenta. Una integral definida es un número (cuando los límites de integración son constantes) o una sola función (cuando uno o ambos límites de integración son variables). Una integral indefinida representa una familia de funciones, todas las cuales se diferencian por una constante. A medida que se familiarice con la integración, tendrá una idea de cuándo usar integrales definidas y cuándo usar integrales indefinidas. Naturalmente, seleccionará el enfoque correcto para un problema determinado sin pensar demasiado en él. Sin embargo, hasta que estos conceptos estén cimentados en su mente, piense detenidamente si necesita una integral definida o una integral indefinida y asegúrese de que está utilizando la notación adecuada según su elección.

Fórmulas de integración básica

Recuerde las fórmulas de integración dadas en la sección de Antiderivadas y las propiedades de integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar estas fórmulas y propiedades.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Integrar una función usando la regla de potencia

Usa la regla de la potencia para integrar la función ( displaystyle ∫ ^ 4_1 sqrt {t} (1 + t) , dt ).

Solución

El primer paso es reescribir la función y simplificarla para que podamos aplicar la regla de la potencia:

[ begin {align *} ∫ ^ 4_1 sqrt {t} (1 + t) , dt & = ∫ ^ 4_1t ^ {1/2} (1 + t) , dt [4pt] & = ∫ ^ 4_1 (t ^ {1/2} + t ^ {3/2}) , dt. end {alinear *} ]

Ahora aplique la regla de la potencia:

[ begin {align *} ∫ ^ 4_1 (t ^ {1/2} + t ^ {3/2}) , dt & = left. left ( frac {2} {3} t ^ {3/2} + frac {2} {5} t ^ {5/2} right) right | ^ 4_1 [4pt] & = izquierda [ frac {2} {3} (4) ^ {3/2} + frac {2} {5} (4) ^ {5/2} derecha] - izquierda [ frac {2} { 3} (1) ^ {3/2} + frac {2} {5} (1) ^ {5/2} right] [4pt] & = frac {256} {15}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra la integral definida de (f (x) = x ^ 2−3x ) sobre el intervalo ([1,3]. )

Insinuación

Siga el proceso del Ejemplo ( PageIndex {1} ) para resolver el problema.

Respuesta

[ int_1 ^ 3 left (x ^ 2 - 3x right) , dx = - frac {10} {3} nonumber ]

El teorema del cambio neto

La teorema del cambio neto considera la integral de un tasa de cambio. Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula se puede expresar de dos formas. El segundo es más familiar; es simplemente la integral definida.

Teorema del cambio neto

El nuevo valor de una cantidad cambiante es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio:

[F (b) = F (a) + ∫ ^ b_aF '(x) dx label {Net1} ]

o

[∫ ^ b_aF '(x) dx = F (b) −F (a). label {Net2} ]

Restar (F (a) ) de ambos lados de la ecuación ref {Net1} da como resultado la Ecuación ref {Net2}. Como son fórmulas equivalentes, la que usemos depende de la aplicación.

La importancia del teorema del cambio neto radica en los resultados. El cambio neto se puede aplicar al área, la distancia y el volumen, por nombrar solo algunas aplicaciones. El cambio neto representa las cantidades negativas automáticamente sin tener que escribir más de una integral. Para ilustrar, apliquemos el teorema del cambio neto a un velocidad función en la que el resultado es desplazamiento.

Vimos un ejemplo simple de esto en la sección La integral definida. Suponga que un automóvil se mueve hacia el norte (la dirección positiva) a 40 mph entre las 2 p.m. y 4 p.m., luego el automóvil se mueve hacia el sur a 30 mph entre las 4 p.m. y 5 p.m. Podemos graficar este movimiento como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

Tal como hicimos antes, podemos usar integrales definidas para calcular el desplazamiento neto así como la distancia total recorrida. La desplazamiento neto es dado por

[∫ ^ 5_2v (t) , dt = ∫ ^ 4_240 , dt + ∫ ^ 5_4−30 , dt = 80−30 = 50. sin número]

Así, a las 5 p.m. el automóvil está a 50 millas al norte de su posición de partida. La distancia total viajado está dado por

[∫ ^ 5_2 | v (t) | , dt = ∫ ^ 4_240 , dt + ∫ ^ 5_430 , dt = 80 + 30 = 110. sin número]

Por lo tanto, entre las 2 p.m. y 5 p.m., el automóvil recorrió un total de 110 millas.

En resumen, el desplazamiento neto puede incluir valores tanto positivos como negativos. En otras palabras, la función de velocidad tiene en cuenta tanto la distancia hacia adelante como la distancia hacia atrás. Para encontrar el desplazamiento neto, integre la función de velocidad en el intervalo. La distancia total recorrida, por otro lado, siempre es positiva. Para encontrar la distancia total recorrida por un objeto, independientemente de la dirección, necesitamos integrar el valor absoluto de la función de velocidad.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar el desplazamiento neto

Dada una función de velocidad (v (t) = 3t − 5 ) (en metros por segundo) para una partícula en movimiento desde el tiempo (t = 0 ) al tiempo (t = 3, ) calcule el desplazamiento neto de la partícula.

Solución

Aplicando el teorema del cambio neto, tenemos

[∫ ^ 3_0 (3t − 5) , dt = left ( frac {3t ^ 2} {2} −5t right) bigg | ^ 3_0 = left [ frac {3 (3) ^ 2 } {2} −5 (3) right] −0 = frac {27} {2} −15 = frac {27} {2} - frac {30} {2} = - frac {3} {2}. sin número]

El desplazamiento neto es (- frac {3} {2} ) m (Figura ( PageIndex {2} )).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): encontrar la distancia total recorrida

Utilice el ejemplo ( PageIndex {2} ) para encontrar la distancia total recorrida por una partícula de acuerdo con la función de velocidad (v (t) = 3t − 5 ) m / seg durante un intervalo de tiempo ([0,3 ]. )

Solución

La distancia total recorrida incluye tanto los valores positivos como los negativos. Por lo tanto, debemos integrar el valor absoluto de la función de velocidad para encontrar la distancia total recorrida.

Para continuar con el ejemplo, use dos integrales para encontrar la distancia total. Primero, encuentre la intersección en (t ) - de la función, ya que ahí es donde ocurre la división del intervalo. Iguala la ecuación a cero y resuelve para (t ). Por lo tanto,

[ begin {align *} 3t − 5 & = 0 [4pt] 3t & = 5 [4pt] t & = frac {5} {3}. end {alinear *} ]

Los dos subintervalos son ( left [0, frac {5} {3} right] ) y ( left [ frac {5} {3}, 3 right] ). Para encontrar la distancia total recorrida, integre el valor absoluto de la función. Dado que la función es negativa en el intervalo ( left [0, frac {5} {3} right] ), tenemos ( big | v (t) big | = −v (t) ) durante ese intervalo. Sobre ( left [ frac {5} {3}, 3 right] ), la función es positiva, entonces ( big | v (t) big | = v (t) ). Por lo tanto, tenemos

[ begin {align *} ∫ ^ 3_0 | v (t) | , dt & = ∫ ^ {5/3} _0 − v (t) , dt + ∫ ^ 3_ {5/3} v (t) , dt [4pt]
& = ∫ ^ {5/3} _0 5−3t , dt + ∫ ^ 3_ {5/3} 3t − 5 , dt [4pt]
& = left (5t− frac {3t ^ 2} {2} right) bigg | ^ {5/3} _0 + left ( frac {3t ^ 2} {2} −5t right) bigg | ^ 3_ {5/3} [4pt]
& = left [5 ( frac {5} {3}) - frac {3 (5/3) ^ 2} {2} right] −0+ left [ frac {27} {2} - 15 right] - left [ frac {3 (5/3) ^ 2} {2} - frac {25} {3} right] [4pt]
& = frac {25} {3} - frac {25} {6} + frac {27} {2} −15− frac {25} {6} + frac {25} {3} [4pt]
& = frac {41} {6} end {align *} ]

Entonces, la distancia total recorrida es ( frac {14} {6} ) m.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentre el desplazamiento neto y la distancia total recorrida en metros dada la función de velocidad (f (t) = frac {1} {2} e ^ t − 2 ) en el intervalo ([0,2] ).

Insinuación

Siga los procedimientos de Ejemplos ( PageIndex {2} ) y ( PageIndex {3} ). Tenga en cuenta que (f (t) ≤0 ) para (t≤ ln 4 ) y (f (t) ≥0 ) para (t≥ ln 4 ).

Respuesta

Desplazamiento neto: ( frac {e ^ 2−9} {2} ≈ − 0.8055 ) m; distancia total recorrida: (4 ln 4−7.5 + frac {e ^ 2} {2} ≈1.740 ) m.

Aplicación del teorema del cambio neto

El teorema del cambio neto se puede aplicar al flujo y consumo de fluidos, como se muestra en el Ejemplo ( PageIndex {4} ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): ¿Cuántos galones de gasolina se consumen?

Si el motor de una lancha se pone en marcha en (t = 0 ) y la embarcación consume gasolina a razón de (5 − t ^ 3 ) gal / hr, ¿cuánta gasolina se usa en la primera (2 ) ¿horas?

Solución

Exprese el problema como una integral definida, integre y evalúe usando el Teorema Fundamental del Cálculo. Los límites de integración son los puntos finales del intervalo [0,2]. Tenemos

[ begin {align *} ∫ ^ 2_0 left (5 − t ^ 3 right) , dt & = left (5t− frac {t ^ 4} {4} right) ∣ ^ 2_0 [4pt] & = left [5 (2) - frac {(2) ^ 4} {4} right] −0 [4pt] & = 10− frac {16} {4} [ 4pt] y = 6. end {alinear *} ]

Por lo tanto, la lancha usa (6 ) gal de gasolina en (2 ) horas.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Abridor de capítulo: Barcos de hielo

Como vimos al comienzo del capítulo, arriba barco de hielo los corredores pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Sin embargo, Andrew es un navegante de hielo intermedio, por lo que alcanza velocidades iguales a solo el doble de la velocidad del viento.

Suponga que Andrew saca su bote de hielo una mañana cuando una brisa ligera de (5 ) - mph ha estado soplando toda la mañana. Sin embargo, cuando Andrew instala su bote de hielo, el viento comienza a levantarse. Durante su primera media hora de navegación en el hielo, la velocidad del viento aumenta de acuerdo con la función (v (t) = 20t + 5. ) Durante la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento permanece estable a (15 ) mph. En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

[v (t) = begin {cases} 20t + 5, & text {para} 0≤t≤ frac {1} {2} 15, & text {para} frac {1} { 2} ≤t≤1 end {cases} nonumber ]

Recordando que el bote de hielo de Andrew viaja al doble de la velocidad del viento, y suponiendo que se aleja en línea recta de su punto de partida, ¿qué distancia tiene Andrew de su punto de partida después de (1 ) hora?

Solución

Para averiguar qué tan lejos ha viajado Andrew, necesitamos integrar su velocidad, que es el doble de la velocidad del viento. Luego

[ text {Distancia} = ∫ ^ 1_02v (t) , dt. sin número]

Sustituyendo las expresiones que nos dieron para (v (t) ), obtenemos

[ begin {align *} ∫ ^ 1_02v (t) , dt & = ∫ ^ {1/2} _02v (t) , dt + ∫ ^ 1_ {1/2} 2v (t) , dt [4pt]
& = ∫ ^ {1/2} _02 (20t + 5) , dt + ∫ ^ 1_ {1/3} 2 (15) , dt [4pt]
& = ∫ ^ {1/2} _0 (40t + 10) , dt + ∫ ^ 1_ {1/2} 30 , dt [4pt]
& = grande [20t ^ 2 + 10t grande] bigg | ^ {1/2} _0 + grande [30t grande] bigg | ^ 1_ {1/2} [4pt]
& = left ( frac {20} {4} +5 right) −0+ (30−15) [4pt]
& = 25. end {alinear *} ]

Andrew está a 40 km de su punto de partida después de 1 hora.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Suponga que, en lugar de permanecer estable durante la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento comienza a amainar según la función (v (t) = - 10t + 15. ) En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por

[v (t) = begin {cases} 20t + 5, & text {para} 0≤t≤ frac {1} {2} - 10t + 15, & text {para} frac { 1} {2} ≤t≤1 end {casos}. sin número]

En estas condiciones, ¿qué tan lejos de su punto de partida está Andrew después de 1 hora?

Insinuación

No olvide que el barco de hielo de Andrew se mueve dos veces más rápido que el viento.

Respuesta

(17,5 ) mi

Integración de funciones pares e impares

Vimos en Funciones y Gráficos que un incluso función es una función en la que (f (−x) = f (x) ) para todo (x ) en el dominio, es decir, la gráfica de la curva no cambia cuando (x ) se reemplaza con (−x ). Las gráficas de funciones pares son simétricas con respecto al eje (y ). Un Función impar es uno en el que (f (−x) = - f (x) ) para todo (x ) en el dominio, y la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen.

Las integrales de funciones pares, cuando los límites de integración son de (- a ) a (a ), involucran dos áreas iguales, porque son simétricas con respecto al eje (y ). Integrales de funciones impares, cuando los límites de integración son similarmente ([- a, a], ) evalúan a cero porque las áreas arriba y abajo del eje (x ) - son iguales.

Integrales de funciones pares e impares

Para funciones pares continuas tales que (f (−x) = f (x), )

[∫ ^ a _ {- a} f (x) , dx = 2∫ ^ a_0f (x) , dx. ]

Para funciones continuas impares tales que (f (−x) = - f (x), )

[∫ ^ a _ {- a} f (x) , dx = 0. ]

Ejemplo ( PageIndex {6} ): integración de una función par

Integra la función par ( displaystyle ∫ ^ 2 _ {- 2} (3x ^ 8−2) , dx ) y verifica que la fórmula de integración para las funciones pares sea válida.

Solución

La simetría aparece en los gráficos de la Figura ( PageIndex {4} ). La gráfica (a) muestra la región debajo de la curva y arriba del eje (x ). Tenemos que acercarnos mucho a este gráfico para ver la región. El gráfico (b) muestra la región por encima de la curva y por debajo del eje (x ). El área firmada de esta región es negativa. Ambas vistas ilustran la simetría sobre el eje (y ) de una función par. Tenemos

[ begin {align *} ∫ ^ 2 _ {- 2} (3x ^ 8−2) , dx & = left ( frac {x ^ 9} {3} −2x right) ∣ ^ 2 _ {- 2} [4pt]
& = left [ frac {(2) ^ 9} {3} −2 (2) right] - left [ frac {(- 2) ^ 9} {3} −2 (−2) right ] [4pt]
& = left ( frac {512} {3} −4 right) - left (- frac {512} {3} +4 right) [4pt]
& = frac {1000} {3}. end {alinear *} ]

Para verificar la fórmula de integración para funciones pares, podemos calcular la integral de (0 ) a (2 ) y duplicarla, luego verificar para asegurarnos de obtener la misma respuesta.

[∫ ^ 2_0 (3x ^ 8−2) , dx = left ( frac {x ^ 9} {3} −2x right) bigg | ^ 2_ {0} = frac {512} {3 } −4 = frac {500} {3} nonumber ]

Desde (2⋅ frac {500} {3} = frac {1000} {3}, ) hemos verificado la fórmula para funciones pares en este ejemplo en particular.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Integrar una función impar

Evalúa la integral definida de la función impar (- 5 sin x ) sobre el intervalo ([- π, π]. )

Solución

El gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ). Podemos ver la simetría sobre el origen por el área positiva sobre el eje (x ) - sobre ([- π, 0] ), y el área negativa debajo del eje (x ) - sobre ([ 0, π]. ) Tenemos

[ begin {align *} ∫ ^ π _ {- π} −5 sin x , dx & = - 5 (- cos x) bigg | ^ π _ {- π} [4pt] & = 5 cos x , bigg | ^ π _ {- π} [4pt] & = [5 cos π] - [5 cos (−π)] [4pt] & = - 5 - (- 5 ) = 0. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Integra la función ( displaystyle ∫ ^ 2 _ {- 2} x ^ 4 , dx. )

Insinuación

Integre una función uniforme.

Respuesta

( dfrac {64} {5} )

Conceptos clave

  • El teorema del cambio neto establece que cuando una cantidad cambia, el valor final es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio. El cambio neto puede ser un número positivo, un número negativo o cero.
  • El área bajo una función par sobre un intervalo simétrico se puede calcular duplicando el área sobre el eje positivo (x ). Para una función impar, la integral sobre un intervalo simétrico es igual a cero, porque la mitad del área es negativa.

Ecuaciones clave

  • Teorema de cambio neto [F (b) = F (a) + ∫ ^ b_aF '(x) , dx nonumber ] o [∫ ^ b_aF' (x) , dx = F (b) −F ( a) nonumber ]

Glosario

teorema del cambio neto
si conocemos la tasa de cambio de una cantidad, el teorema del cambio neto dice que la cantidad futura es igual a la cantidad inicial más la integral de la tasa de cambio de la cantidad


Ver el vídeo: Teorema Fundamental del Cálculo Teorema del Cambio Neto (Diciembre 2021).